Халтагарова Ж.С. Практикум по решению задач повышенной сложности

Пояснительная записка
Данная образовательная общеразвивающая программа предназначена для учащихся (13-14 лет) дополнительно, изучающих
математику в Центре дополнительного образования «Малая академия наук». (108 часов, 3 ч. в неделю).
Программа может быть использована для учащихся с разной степенью подготовленности, способствует развитию познавательных
интересов, экономической грамотности, мышления учащихся.
Цель:
 позволить учащимся повысить учебную мотивацию, проверить свои способности к математике и развить устойчивый интерес к
предмету.
 научить решать некоторые задачи, с которыми каждый из нас может столкнуться в повседневной жизни;
 доказать, что математика нужна всем, чем бы человек не занимался, какой бы профессией не овладевал, где бы не учился.
Задачи:
учить школьников выполнять тождественные преобразования выражений;
учить учащихся решать линейные уравнения и неравенства;
учить учащихся решать квадратные уравнения и неравенства;
учить строить графики линейных и квадратных функций;
помочь овладеть умениями на уровне свободного их использования;
учить работать с текстом, ставить цели, отвечать на вопросы, использовать уже изученный материал при решении задач;
помочь ученикам оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
Программа «Развивающая математика» состоит из пяти модулей:
1. «Процентные расчёты на каждый день в школе и в жизни»
2. «Квадратный трехчлен. Квадратичная функция»
3. «Модуль и его приложения»
4. «Геометрия. Красота и гармония».
5. «Элементы теории множеств. Делимость целых чисел. Принцип Дирихле. Решение задач с помощью графов.»
Модуль «Процентные расчёты на каждый день в школе и в жизни» включает в себя прикладные задачи из разделов экономики,
химии, физики. Практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие, окончившие школу, не
имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные
расчёты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую,
демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Модуль «Процентные вычисления на каждый день»
демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов
рыночной экономики и задач технологии производства; ориентирует учащихся на обучение по естественно-научному и социальноэкономическому профилю. Познавательный материал модуля будет способствовать не только выработке умений, но и закреплению
навыков процентных вычислений, формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также
познавательной и социальной активности.
Вопрос о функции в математики – это один из тех вопросов, характер изучения которых в значительной степени определяет
прикладную направленность модуля «Квадратный трехчлен. Квадратичная функция». Учащиеся не всегда умеют сознательно
использовать информацию о свойствах квадратного трёхчлена при решении заданий, связанных с исследованием квадратного уравнени я.
К таким задачам относятся: задачи на применение теоремы Виета, на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное
расположение корней квадратного уравнения и решение квадратных уравнений с параметром. Вместе с тем глубокое понимание этих т ем
совершенно необходимо для построения системы знаний о рациональных числах, осознанном решении уравнений и неравенств,
содержащих параметры. Поэтому основной задачей курса является углубление знаний по определенным темам и развитие устойчивого
интереса к предмету. Задачи, предлагаемые в данном модуле, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную
мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание модуля позволяет ученику любого уровня
активно включаться в учебно- познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне
сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
Особую роль при рассмотрении свойств функций играет использование графических представлений. Одна из важнейших задач
изучения функционального материала состоит в формировании умения «читать» график: находить значение функции по заданному

значению аргумента; находить, при каких значениях аргумента функция принимает указанное значение; определять промежутки
знакопостоянства, а также промежутки возрастания и убывания функции. При изучении конкретных функций график является опорным
для выяснения свойств функции, которые затем доказываются аналитически. В то же время, обращение к аналитическим доказательствам
используется для уточнения суждения о виде графика. В процессе изучения данного модуля предполагается использование различных
форм и методов организации самостоятельной деятельности учащихся.
Модуль «Модуль и его приложения» направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через
решение большого класса задач. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих модуль, и построение
графиков элементарных функций, содержащих модуль, совершенно необходимы любому ученику, желающему успешно выступить на
математических конкурсах и олимпиадах. Материал данного модуля содержит «нестандартные» методы, которые позволяют более
эффективно решить широкий класс заданий, содержащий модуль. Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением
прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный модуль предусматривает
формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии,
существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения
Предлагаемый модуль «Геометрия. Красота и гармония» направлен на интеграцию знаний, формирование общекультурной
компетентности, создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся
из них. Ведущий подход, который был использован при разработке курса: показать на обширном материале от античных времен до
наших дней пути взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры – науки и искусства; расширить
представления

сферах

применения

математики;

показать,

что

фундаментальные

закономерности

математики

являются

формообразующими в архитектуре, в музыке, живописи и т. д. Данный модуль полезен и интересен не только учащимся,
интересующимся математикой, но и гуманитариям; он призван стать дополнительным фактором формирования положительной
мотивации в изучении математики, а также понимания учащимися философского постулата о единстве мира и осознания положения об
универсальности математических знаний.
Методы обучения:
 словесные (беседа, устное изложение);
 наглядные (показ видеоматериалов, иллюстраций, работа по образцу);
 объяснительно – иллюстративные (при таком методе обучения дети воспринимают и усваивают готовую информацию);
 репродуктивные (учащиеся воспроизводят полученные знания и освоенные способы деятельности);
 частично – поисковые (участие детей в коллективном поиске);
 исследовательские (овладение детьми методами научного познания, самостоятельной творческой работы).
Формы организации занятий – групповая, индивидуальная, парная, консультация, лекция, семинар.
Материально – методическое обеспечение – таблицы, справочные материалы, компьютер, проектор.
Ожидаемые результаты.
Учащиеся должны уметь:
 видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, в окружающей жизни;
 выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;
 применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;
 самостоятельно ставить цели, выбирать и находить способы решения учебных и практических проблем;
 планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;
 решать задачи на принцип Дирихле;
 доказывать утверждения на обобщенный принцип Дирихле;
 проводить доказательные рассуждения при решении задач;
 изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;
 применять понятия, связанные с делимостью целых чисел.

знать:

 универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
 значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю

развития понятия числа, возникновения и развития геометрии;
 красоту и изящества математических рассуждений.

1.Учебный план занятий.

№

Название раздела, темы

Количество часов

п/п

Всего

Формы

Теор

Прак

ия

тика

аттестации/кон
троля

Модуль «Процентные расчёты на каждый день в школе и в жизни»

Входная к/р

Модуль «Квадратный трехчлен. Квадратичная функция»

с/р

Модуль «Модуль и его приложения»

с/р

Модуль «Геометрия. Красота и гармония».

с/р

Модуль «Элементы теории множеств. Делимость целых чисел. Принцип Дирихле. Решение задач с

с/р

111

помощью графов.»

ИТОГО:

Лекция.

7(9)

контроля

Форма

Место

проведения

Тема занятия

Кол-во часов

Форма занятия

занятия

проведения

Время

Число

Месяц

№

2.Календарный учебный график.

Вводное занятие. Входная диагностика.

К/р

1. Модуль- «Процентные расчёты на каждый день в

С/р

Лекция.

14(16)

школе и в жизни». 1.Проценты в прошлом и настоящем.

Практика

Лекция

4.Распродажа. Тарифы. Штрафы. 5.Банковские операции.

6.Процентные ставки и процентный

Практика
Лекция.

28(30)

12(14)

19(21)

15:00-17:20

Октябрь

Лекция.

5(7)

С/р

8.Задачи на смеси, растворы и сплавы.

9.Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом

Практика
Лекция.
Практика
Лекция.

С/р

прирост.7.Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей.

Практика

каб.№2.

вычисления в жизненных ситуациях

уравнений.
3

10. Проценты и задачи оптимизации.

каб.№2.

21(23)

15:00-17:20

Сентябрь

2.Простой и сложный процентный рост. 3.Процентные

МАУ ДО ЦДО МАН

Практика

С/р

Практика
8

26(28)

2(-)

Лекция.

11.Решение задач по всему курсу.

С/р

2. Модуль - «Квадратный трехчлен. Квадратичная

С/р

Практика
Лекция.
Практика

функция». 1.Квадратный трехчлен. 2.Исследование
корней квадратного трехчлена. Разложение квадратного
трехчлена.

Практика

9(11)

3.Примеры применения свойств квадратного трехчлена

С/р

Лекция.

Практика

4.Знакомство с программой графопостроитель. Обучение
построению графиков в программе графопостроитель.
5.Обучение построению графиков в программе

каб.№2.

16(18)

15:00-17:20

Ноябрь

при решении задач.

графопостроитель
12

Лекция.

23(25)

Практика

Лекция.

30(2)

Практика

7(9)

6.Обратная пропорциональность. Свойства функции.

С/р

Различные способы задания функции.
3

Практика
14

МАУ ДО ЦДО МАН

7.Квадратичная функция. Свойства функции. Три

С/р

способа построения параболы.
3

8.Создание рисунка с помощью графиков функций,

С/р

Лекция.

21(23)

9.Решение параметрических уравнений второй степени.

10. Решение неравенств второй степени с параметром.

11. Прикладная направленность заданий по теме

Практика
Лекция.

28(30)

Практика

МАУ ДО ЦДО МАН

Лекция.
Практика

каб.№2.

Декабрь

14(16)

15:00-17:20

заданных на промежутке.
С/р

С/р

«Квадратный трехчлен». 12. Решение разнообразных
заданий по теме «Квадратный трехчлен».

15:00-17:20

Лекция.

неравенств, содержащих модуль.
3

Практика
21

Лекция.

1(3)

15(17)

22(-)

6. Преобразование графиков функций, содержащих

7. Модуль в олимпиадных заданиях.

8. Графический метод решения уравнений, содержащих

Практика
Лекция.

Лекция.
Практика

С/р

модуль.

Практика

23
24

15:00-17:20

Февраль

Лекция.

4. Графики функций, содержащие модуль. 5. Построение

С/р

графиков функции, содержащих модуль.

Практика
8(10)

2. Решение уравнений, содержащих модуль. 3. Решение

МАУ ДО ЦДО МАН

каб.№2.

модуль.

Практика
25(27)

С/р

сведения. Преобразование выражений, содержащих

Лекция.

18(20)

3. Модуль и его приложения. 1. Модуль. Общие

модуль.
3

9. Методы решения уравнений, содержащих «модуль в

МАУ ДО ЦДО МАН

каб.№2.

Практика

11(13)

Январь

С/р

модуле».

Март

26
15(17)

Лекция.

С/р

модуле».
3

11. Задачи, содержащие неизвестное под знаком модуля.

4. Модуль- «Геометрия. Красота и гармония».

С/р

Практика
Лекция.
Практика
Лекция.

22(24)

10. Методы решения неравенств, содержащих «модуль в

1. Нестандартные методы решения треугольников.
3

2. Нестандартные решения четырехугольников.

каб.№2.

-(10)

15:00-17:20

Практика

МАУ ДО ЦДО МАН

Лекция.

1(3)

С/р

Практика

28
29

29(31)

Практика

3. Площади в архитектуре.

С/р

5(7)

Практика

4. Углы и отрезки, связанные с окружностью.

С/р

12(14)

Лекция.

5. Геометрия в музыке и живописи.

С/р

6. Тренинг с использованием компьютерных программ

С/р

Практика

математика»
Лекция.

26(28)

(«Открытая математика. Планиметрия», «Живая

Практика

5. Модуль-Элементы теории множеств. Делимость
целых чисел. Принцип Дирихле. Решение задач с
помощью графов. 1.Различные формулировки принципа
Дирихле, применение принципа Дирихле к решению

МАУ ДО ЦДО МАН

Лекция.

каб.№2.

19(21)

Апрель

15:00-17:20

Практика

С/р

разнообразных задач. 2.Алгоритм решения задач на
принцип Дирихле. Решение задач по теме «Принцип
Дирихле» 3. Понятие инварианта. Виды инвариантов.
Чётность и нечётность: основные типы задач. 4. Остатки
от деления. Раскраска. Решение задач по теме
«Инвариантность».

6.Решение задач по теме «Шифрование и математика».

Практика

7.Что такое треугольник Паскаля и как его можно

С/р

построить. 8.Некоторые свойства треугольника Паскаля.
9.Символические обозначения, задание треугольника
Паскаля рекуррентными формулами. 10. Треугольник
Паскаля и возведение в степень двучлена.

17(19)

Практика

Итоговая зачетная работа.

24(26)

Практика

Заключительное занятие.

каб.№2.

10(12)

Май

Практика

МАУ ДО ЦДО МАН

5. Постановка задачи. Матричный способ шифрования.

3(5)

15:00-17:20

С/р

тест

Литература:
1. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления. Математика , № 5, 2003.
2. Петров В.А. Элементы финансовой математики на уроках. Математика в школе, № 8,2002.
3. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. – М.: Школа - Пресс, 1999.
4. Водинчар М.И., Лайкова, Г.А., Рябова, Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений. Математика в школе. –
№ 4. 2001.4.
5.Рязановский А.Р. Задачи на части и проценты. Математика в школе. – № 1. 1992.
6. Симонов А. С. Проценты и банковские расчеты. Математика в школе. – № 4. 1998.
7. Симонов А. С. Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей. Математика в школе. – № 6. 1998.
8. Симонов А. С. Сложные проценты. Математика в школе. – 1998. – № 5.
9. Соломатин О. Д. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси. Математика в школе. – №1. 1997.
10. Шевкин А. В. Текстовые задачи. – М.: Изд. отд. УНЦ ДО МГУ, 1997.
11. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Шноль Э.Э. Функции и графики (основные приемы). – 6-е изд., испр. – М.: МЦНМО,2004.
14. Феоктистов И.Е. Материалы по теме «Декартовы координаты на плоскости».
Образовательные ресурсы сети Интернет:
http://ege.edu.ru
http://eqworld.ipmnet.ru
http://www.uztest.ru
http://www.ed.vseved.ru